У тому, розглянуті загальні імена, із знаками властивостей відношень віднесені до єдиної категорії предметно-істинних функторів – предикатів. Предикатами репрезентуються функції, аргументами яких виступають значення істинності оцінок (істина або неправда ). Наприклад предикатом «людина» визначається функція співставлення кожній людині оцінки «істина» а істоті – «неправда». Об’єкти універсуму з наявною одномісною предметно-істинною функцією підставляється значення «істини», отримало назву площини істинності відповідного предикатора. Побудова логіки самих предикатів предикаторами співставлена площині властивостей (одномісні педикатори) та відносин (багатомісні предикатори).
В логіці використовується особливий тип логічного символу – квантори та пов’язані з ними логічні форми висловлювання. Будучи розділом символічної логіки, логіка предикатів містить логічну теорію різних типів, які відрізняються як виразна можливість мови, де сформульовані та виділені за класом логічні закони. Потрібно розрізняти дві логіки предикатів: першого і вищого порядку.
Логіка предикатів першого порядку має предметні змінні, можливим значенням яких виступають індивіди, тоді ж як логіка другого порядку має введені змінні, які пробігають за ознакою індивідів – їхніми властивостями та відносинами між ними; для логіки предикатів третього порядку характерна через квантифікацію за ознакою ознак індивіда, тощо. Виділені також односортні та багатосортні логічні системи предикатів. Так односортні є такими, що належать одному типу, маючи при цьому однакову площину пробігу, а багатосортні – пов’язані безліччю можливого значення. До того ж, у розділ логіки включені класичні та некласичні логічні теорії.
В класичній логіці предикатів покладені загальні принципи класичної системи логіки – двозначність, екстенсіональність, класичне трактування істини Арістотелем як співвідносність тверджень дійсності. В некласичній предикатній системі вказані принципи переглядаються. У різний спосіб здійснюється семантична побудова класичної односортної логіки предикатів першого порядку. Першим етапом семантичної побудови логіки предикатів є завданням класу допущеної інтерпретації нелогічних символів мови.
Наступний етап семантичної побудови логіки предикатів – це формулювання точного правила встановлення значення правильної побудови мови в рамках вибраної моделі та розподілення значення предметних змінних. Кінцевий етап побудови логіки предикатів – введення понять закону теорії та різними логічними відносинами між формулами. Важливішим постають відносини логічного слідування з наявним у ньому критерієм дедуктивного умовиводу. Звичайно ж, крім логічних теорій є ще синтаксичний метод побудови – вид логічного вирахування. Є різні способи логічного вирахування, разом із класичним вирахуванням предикатів першого порядку.
Історією підтверджується факт появи аксіоматичного вирахування (гілбертівський тип), де при асіоматичній уяві логіки висловлювання, кожне кінцеве число загальнозначущих формул наділене статусом аксіом з постулюванням деякого набору правила введення. Важлива побудова аксіоматичного вирахування предикатів зі схемою таких аксіом у співвідносності безкінечному числу аксіом одного і того ж виду.
Справа в тому, що при синтаксичній побудові логіки предикатів другого порядку відбувається стикання з фундаментальною проблемою, яка носить метатеоретичний характер – не аксіоматичністю, формалізацією класу загальних формул другої порядкової логіки, тобто не існування вирахування, де б мало місце співпадіння класу теорем з загальнозначущими формулами. А тому логіка предикатів другого порядку – це дуже багата логічна теорія. Можливий шлях розширення такої логіки полягатиме у введенні мови предикатів вищого ступеню. До некласичної системи логіки предикатів відносять вільну логіку. Вільною логікою називається така нестандартна теорія квантифікації при будові якої відбувається відмова від обов’язкового існування індивідів в площині інтерпретації, з допущенням порожнини термів. Особливо важливою для логіки предикатів, логічної теорії залишається метатеорія.
При побудові семантичної та синтаксичної теорії постає питання співвідношення класу загальнозначущих семантичних формул з більшістю теорем вирахування. Вирахування предикатів здатне володіти властивістю синтаксичного протиріччя, тобто не має формули.
Відмінність класичного вирахування висловлювання від вирахування предикатів полягає насамперед в приєднанні в якості аксіоми недоведеної формули так, щоб отримана система виявилася такою, що синтаксично не протирічить. Виявляється, що синтаксична неповнота предикатів в методологічного відношенні має серйозний наслідок: забезпечення можливості побудови на основі логічної системи непривіальної прикладної теорії з приєднанням власних постулатів, котрі як не дивно, не володіють статусом логічного закону.
Особливо важлива в логіці предикатів досліджувана проблема дозволу. На думку Чьорча проблема не має дозволу: відсутність алгоритму, котрий би дозволяв довільній формулі мови логіки предикатів у вирішенні питання, чи є вони законом даної теорії, тобто будь-яке адекватне поняттям закону логіки предикатів неефективне істотним чином, у ньому відсутня алгоритмічна процедура розпізнання елементів об’єму.
В приватних випадках проблеми дозволу віднайшли свій дозвіл. Логіка предикатів дозволена відносно властивостей бути загальнозначущою формулою на безлічі з кінцевим числом елементів. Алгоритм перевірки логіки предикатів загальнозначущості в площині містить n об’єкти та полягає в елімінації кванторів та перетворення однієї формули – в формулу мови логіки висловлювань. З відстороненням кванторів спільності та існування використовується зв’язок з пропорційними кон’юнкцією та диз’юнкцією. Дозволеною є логіка одномісних предикатів – це фрагмент логіки предикату, в формулах якого не має предикатних констант. Логіку предикатів створювали: Фреге, Рассел, Вайтхед. Гілберт здійснив сучасне формулювання класичного першопорядку вирахування предикатів та детальний аналіз разом з учнями Аккерманом та Бернайсом.
Вагомий внесок в метатеоретичні властивості логіки предикатів зробили: Льовінгейм, Сколь, Гьодель та інші. Наукові результати цієї площини отримали Генцен, Кальмар, Кліні, Крейг, Куайн і ще багато дослідників.
Пегас
