Якісна теорія диференціальних рівнянь
Пуанкаре першим дослідив глобальну поведінку розв’язків, класифікуючи особливі точки та граничні цикли. Він показав, що топологічна структура поверхні визначає кількість і тип таких точок, що стало основою для розвитку сучасної динамічної системи.
Небесна механіка та задача трьох тіл
У 1887 році, беручи участь у конкурсі короля Швеції Оскара II, Пуанкаре довів, що задача трьох тіл не має аналітичного розв’язку. Його дослідження виявили хаотичну чутливість до початкових умов — феномен, який започаткував теорію хаосу. Ці результати він узагальнив у тритомній праці «Нові методи небесної механіки» (1892–1899).
Топологія та гіпотеза Пуанкаре
Досліджуючи многовиди, Пуанкаре сформулював гіпотезу: «Чи є тривимірна сфера єдиним компактним многовидом, де будь-яка замкнута крива може бути стягнута в точку?». Ця проблема залишалася невирішеною до 2006 року, коли Григорій Перельман довів її за допомогою потоків Річчі.
Внесок у фізику та теорію відносності
У 1905 році, паралельно з Ейнштейном, Пуанкаре розробив математичні основи спеціальної теорії відносності, але не відкинув концепцію ефіру, що обмежило його вплив. Його роботи з електромагнетизму та руху електрона стали мостом між класичною фізикою і сучасними теоріям.
Філософія науки та популяризація знань
Пуанкаре вважав, що наука ґрунтується на конвенціях — умовних правилах, які спрощують опис реальності. У своїх есе («Наука і гіпотеза», 1903) він стверджував, що вибір між евклідовою та неевклідовою геометрією є питанням зручності, а не істини. Ця ідея вплинула на розвиток філософії математики та логічного позитивізму.
Анрі Пуанкаре залишився в історії як вчений-енциклопедист, чиї інновації охопили математику, фізику та філософію
Іван Гудзенко
